5.2. Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма всех токов, втекающих в любой узел, равна нулю. Токи, втекающие в узел, условно принимаются положительными, а вытекающие из него — отрицательными (или наоборот). Если, например, в узел втекает ток II, а вытекают токи 12 и 13, то первый закон Кирхгофа может быть записан в виде выражения: 11-12-13=0.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках контура.

При применении второго закона Кирхгофа необходимо учитывать знаки ЭДС и выбранное направление токов на всех участках контура. Направление обхода контура выбирается произвольным; при записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода независимо от направления протекающего через них тока, принимаются положительными, а ЭДС обратного направления принимаются отрицательными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения на тех участках, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода независимо от направления ЭДС на этих участках, и со знаком минус — на участках, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода.

Общая методика применения законов Кирхгофа для расчета сложных многоконтурных цепей такова. Устанавливается число неизвестных токов, которое равно числу ветвей р. Для каждой ветви задается положительное направление тока. Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов q (точек соединения не менее чем трех проводников) минус единица, т.е.д-1. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу контуров n=p-q+\. Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов р. Решение этой системы уравнений и дает значения искомых токов.

Для иллюстрации изложенной методики рассмотрим многоконтурную цепь постоянного тока на рис. 5.4. В этой цепи всего три узла: А, В и С (q =3), следовательно, число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше, т.е. два. При числе ветвей цепи р=5 число контуров п=5-3+1=3, следовательно, по второму закону Кирхгофа можно составить три взаимно независимых уравнения. Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.

Выберем положительные направления токов, которые на схеме обозначены соответствующим включением амперметров. Например, ток II течет справа налево и втекает в узел А (положительное направление тока), поскольку отрицательная клемма, отмеченная утолщенной черной линией, находится слева и ток через амперметр будет течь справа налеро. Ток 12 вытекает из узла А, поскольку ток через одноименный амперметр будет течь сверху вниз (к отрицательному зажиму, расположенному на нижней грани иконки) и т.д.

Составим систему уравнений Кирхгофа:

для узла А 11-12+13-15=0;

для узла В -11-13-14=0;

для контура ABFA E1+E2=I1-R1-I3-R3;

для контура АВСА E3=-I3-R3+I4-R4+I5-R5;

для контура ADCA E2=I2-R2+I5-R5.

После подстановки в полученные уравнения числовых значений они приобретают следующий вид:

11-12+13-15=0;

11-13-14=0;

6-11-10-13=20;

-10-13+2,5-14+15-15=5;

5-12+15-15=70. Решая полученную систему уравнений, будем иметь: 11=5 А; 12=8 А; 13=1 А;

14=- 6 А; 15=2 А, что соответствует показаниям приборов. Отрицательный знак для тока 14 означает, что истинное направление этого тока противоположно принятому.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте первый и второй законы Кирхгофа. Чем отличается второй закон Кирхгофа от закона Ома для полной цепи?

2. Проведите расчеты по определению токов в ветвях с использованием законов Кирхгофа для цепей на рис. 5.5. После подключения к схемам необходимых измерительных приборов проведите их моделирование. Сравните полученные данные с результатами расчетов.